Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，通項(xiàng)為，且滿足（是常數(shù)且）．

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II） 當(dāng)時(shí)，試證明；

（III）設(shè)函數(shù)，，是否存在正整數(shù)，使對(duì)都成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由題意，，得∴　…1分

當(dāng)時(shí)， ，

　　∴　 …3分

∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，∴　………4分

（II）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，　………5分

∵，∴　 …………6分

即　　　　　　　　　　　　　 ……7分

（III）∵ 　　

＝

=　　　　　　　　 …9分

∵　　　　　　　　　　 ……10分

∴＝ …12分

由得 -------()

∵()對(duì)都成立 ∴　∵是正整數(shù)，∴的值為1,2,3．

∴使對(duì)都成立的正整數(shù)

存在，其值為：1，2，3． 解：（I）由題意，，得∴ …1分

當(dāng)時(shí)， ，

　 ∴　 …3分

∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，∴ ………4分

（II）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)， ………5分

∵，∴　 …………6分

即　　　　　　　　　　　　　 ……7分

（III）∵ 　　

＝

= …9分

∵ ……10分

∴＝ …12分

由得 -------()

∵()對(duì)都成立 ∴ ∵是正整數(shù)，∴的值為1,2,3．

∴使對(duì)都成立的正整數(shù)存在，其值為：1，2，3． ……13分