【選修4—1：幾何證明選講】

 如圖，在正△ABC中，點D,E分別在邊AC, AB上，且AD=AC

AE=AB，BD，CE相交于點F.

 （1）求證：A，E，F(xiàn)，D四點共圓；

 
 （2）若正△ABC的邊長為2，求A，E，F(xiàn)，D所在圓的半徑．

　

．

（Ⅰ）證明：∵AE=AB，

∴BE=AB，

∵在正△ABC中，AD=AC，

∴AD=BE，

又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，

∴△BAD≌△CBE，

∴∠ADB=∠BEC，

即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F(xiàn)，D四點共圓．…（5分）

（Ⅱ）解：如圖，

取AE的中點G，連接GD，則AG=GE=AE，

∵AE=AB，

∴AG=GE=AB=，

∵AD=AC=，∠DAE=60°，

∴△AGD為正三角形，

∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，

所以點G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為．

由于A，E，F(xiàn)，D四點共圓，即A，E，F(xiàn)，D四點共圓G，其半徑為．…（10分）

　

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【選修4-1：幾何證明選講】
已知，如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，AC=AB，CO交⊙O于點P，CO的延長線交⊙O于點F，BP的延長線交AC于點E．
（1）求證：FA∥BE；
（2）求證：
AP
PC
=
FA
AB
；
（3）若⊙O的直徑AB=2，求tan∠PFA的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2014•蘭州一模）【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓O交AB于點E，點D是BC邊的中點，連接OD交圓O于點M．
（1）求證：O、B、D、E四點共圓；
（2）求證：2DE2=DM•AC+DM•AB．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，已知AD，BE，CF分別是△ABC三邊的高，H是垂心，AD的延長線交△ABC的外接圓于點G．求證：DH=DG．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，梯形ABCD內(nèi)接于圓O，AD∥BC，且AB=CD，過點B引圓O的切線分別交DA、CA的延長線于點E、F．
（1）求證：CD2=AE•BC；
（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的長．

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