Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均是正數(shù)，其前n項和為S_n，滿足a_n+S_n=4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證當(dāng)n≥2時，．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得：a_n=4-S_n，所以當(dāng)n=1時，a₁=2．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1所以可得2a_n=a_n-1，所以得到數(shù)列{a_n}等比數(shù)列，進而得到答案．
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得到，所以T_n=1+．因為當(dāng)n≥2時，有=成立，所以利用裂相求和的方法即可得到答案．
解答：解：（1）由題意可得：a_n=4-S_n，所以當(dāng)n=1時，a₁=2．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，所以2a_n=a_n-1，
所以數(shù)列{a_n}是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以．
（2）因為，所以由（1）可得，所以T_n=1+．
當(dāng)n≥2時，有=成立．
所以當(dāng)n≥2時，=．
所以，
即當(dāng)n≥2時，．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握求數(shù)列通項的方法與數(shù)列求和的方法，以及利用放縮法證明不等式的方法．