Question

11．在△ABC中，若∠A=90°，BC=2$\sqrt{3}$，O為中線AM上一動點，則$\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$的最小值是（　�。�

• A． -$\frac{9}{2}$
• B． -$\frac{7}{2}$
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)可得AM的長，再由向量的中點的表示，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義和基本不等式，計算即可得到最小值．

解答 解：由于∠A=90°，BC=2$\sqrt{3}$，
則斜邊上的中線AM=$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$=$\overrightarrow{OA}$•2$\overrightarrow{OM}$
=-2|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OM}$|
≥-2•（$\frac{|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OM}|}{2}$）²=-2•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=-$\frac{3}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OM}$|，即O為AM的中點，
取得最小值-$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義，考查基本不等式的運用：求最值，同時考查直角三角形的斜邊的中線的性質(zhì)，屬于中檔題．