Question

已知圓C：x²+y²=1，點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線(xiàn)x-y-2=0上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓C上存在一點(diǎn)Q，使∠OPQ=30°，則x₀的取值范圍是

[0，2]

．

Answer 1

分析：圓O外有一點(diǎn)P，圓上有一動(dòng)點(diǎn)Q，∠OPQ在PQ與圓相切時(shí)取得最大值．如果OP變長(zhǎng)，那么∠OPQ可以獲得的最大值將變�。�因?yàn)閟in∠OPQ=$\frac{QO}{PO}$，QO為定值，即半徑，PO變大，則sin∠OPQ變小，由于∠OPQ∈（0，$\frac{π}{2}$），所以∠OPQ也隨之變�。�可以得知，當(dāng)∠OPQ=30°，且PQ與圓相切時(shí)，PO=2，而當(dāng)PO＞2時(shí)，Q在圓上任意移動(dòng)，∠OPQ＜30°恒成立．因此滿(mǎn)足PO≤2，就能保證一定存在點(diǎn)Q，使得∠OPQ=30°，否則，這樣的點(diǎn)Q是不存在的；接下來(lái)進(jìn)行計(jì)算：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出OP的長(zhǎng)，再把P的坐標(biāo)代入已知的直線(xiàn)方程中，用y₀表示出x₀，代入到表示出OP的長(zhǎng)中，根據(jù)PO²≤4列出關(guān)于y₀的不等式，求出不等式的解集即可得到y(tǒng)₀的范圍，進(jìn)而求出x₀的范圍．

解答：解：由分析可得：PO²=x₀²+y₀²，
又因?yàn)镻在直線(xiàn)x-y-2=0上，所以x₀=y₀+2，
由分析可知PO≤2，所以PO²≤4，即2y₀²+4y₀+4≤4，
變形得：y₀（y₀+2）≤0，
解得：-2≤y₀≤0，
所以0≤y₀+2≤2，即0≤x₀≤2，
則x₀的取值范圍是[0，2]．
故答案為：[0，2]

點(diǎn)評(píng)：此題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以及函數(shù)的定義域及其求法．解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，利用幾何知識(shí)，判斷出PO≤2，從而得到不等式求出參數(shù)的取值范圍．