【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若在點(diǎn)
處的切線(xiàn)為
,求
的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,求證:在
時(shí),
.
【答案】(1) 切線(xiàn)方程得:,(2) 當(dāng)
時(shí),
的單調(diào)減區(qū)間為
;當(dāng)
時(shí),
的單調(diào)減區(qū)間為
,單調(diào)增區(qū)間為
;(3)見(jiàn)解析.
.
【解析】試題分析:
(I)通過(guò)f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線(xiàn)為x﹣ey+b=0,可得f′(e)= ,解得
,再將切點(diǎn)(e,﹣1)代入切線(xiàn)方程x﹣ey+b=0,可得b=﹣2e;
(II)由(I)知:f′(x)= (x>0),結(jié)合導(dǎo)數(shù)分①a≤0、②a>0兩種情況討論即可;
(III)通過(guò)變形,只需證明g(x)=ex﹣lnx﹣2>0即可,利用g′(x)= ,根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)判定定理即得結(jié)論.
(1)∵,∴
,
又在點(diǎn)
的切線(xiàn)的斜率為
,∴
,∴
,
∴切點(diǎn)為把切點(diǎn)代入切線(xiàn)方程得:
;
(2)由(1)知:①當(dāng)
時(shí),
在
上恒成立,
∴在
上是單調(diào)減函數(shù),②當(dāng)
時(shí),令
,解得:
,當(dāng)
變化時(shí),
隨
變化情況如下表:當(dāng)
時(shí),
單調(diào)減,當(dāng)
時(shí),
,單
單調(diào)增,綜上所述:當(dāng)
時(shí),
的單調(diào)減區(qū)間為
;當(dāng)
時(shí),
的單調(diào)減區(qū)間為
,單調(diào)增區(qū)間為
.
(3)當(dāng)時(shí),要證
,即證
,令
,只需證
,∵
由指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)知:
在
上是增函數(shù)又
,
,∴
,
在
內(nèi)存在唯一的零點(diǎn),也即
在
上有唯一零點(diǎn)設(shè)
的零點(diǎn)為
,則
,即
,由
的單調(diào)性知:當(dāng)
時(shí),
,
為減函數(shù)當(dāng)
時(shí),
,
為增函數(shù),所以當(dāng)
時(shí),
,又
,等號(hào)不成立,∴
.
點(diǎn)睛: 本題考查求函數(shù)解析式,函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn)的存在性定理,(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義;(2)研究單調(diào)性,即研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù);(2):證明恒成立,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)y=f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2, ).
(1)試求函數(shù)解析式;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在 X 軸上,橢圓 C 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.
(1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線(xiàn) 與橢圓 C 相交于 A,B 兩點(diǎn)( A,B 不是左右頂點(diǎn)),且以 AB 為直徑的圖過(guò)橢圓 C 的右頂點(diǎn).求證:直線(xiàn) l 過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓
上,若橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部,則橢圓的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 是
的極小值點(diǎn) B. 函數(shù)
有且只有1個(gè)零點(diǎn)
C. 存在正實(shí)數(shù),使得
恒成立 D. 對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)
,且
,若
,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD﹣A′B′C′D′中,E是棱BC的中點(diǎn),G是棱DD′的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)GB與B′E所成的角為( )
A.120°
B.90°
C.60°
D.30°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣π<φ<0)的最小正周期為π,且它的圖象過(guò)點(diǎn)( ,
).
(1)求ω,φ的值;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
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