Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+1，g（x）=，則方程g[f（x）]-a=0（a為正實(shí)數(shù)）的根的個(gè)數(shù)不可能 為

1. A.
   3個(gè)
2. B.
   4個(gè)
3. C.
   5個(gè)
4. D.
   6個(gè)

Answer 1

A
分析：由已知中函數(shù)的解析式，我們易求出f（x）與y=m的交點(diǎn)情況為：當(dāng)a＜-3，或a＞1時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a=-3，或a=1時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)-3＜a＜1時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)；g（x）與y=a點(diǎn)情況為（x）與y=a的交點(diǎn)情況為：當(dāng)0＜a＜1時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間（-4，-3）上，一個(gè)在區(qū)間（-3，-2）上；當(dāng)a=1時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)為-3，一個(gè)為；當(dāng)a＞1時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間（0，）上，一個(gè)在區(qū)間（-，1）上．分類討論后，即可得到方程g[f（x）]-a=0（a為正實(shí)數(shù)）的根的個(gè)數(shù)所有的情況，進(jìn)而得到答案．
解答：∵函數(shù)f（x）=x³-3x²+1，g（x）=，
∴當(dāng)a=1時(shí)，若方程g[f（x）]-a=0，則：
f（x）=-3，此時(shí)方程有2個(gè)根
或f（x）=，此時(shí)方程有3個(gè)根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有5個(gè)根；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程g[f（x）]-a=0，則：
f（x）∈（-4，-3），此時(shí)方程有1個(gè)根
或f（x）∈（-3，-2），此時(shí)方程有3個(gè)根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有4個(gè)根；
當(dāng)a＞1時(shí)，方程g[f（x）]-a=0，則：
可能有4個(gè)、5個(gè)或6個(gè)根．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中分析內(nèi)外函數(shù)的圖象是解答本題的關(guān)鍵．