Question

已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，θ∈（0，π）．
（1）當(dāng)a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C．若a=

3

，c=1，且∠A=60°．求b的長(zhǎng)；
（2）若a²=b²+c²-2bccosθ．試證明長(zhǎng)為a、b、c的線段能構(gòu)成三角形，而且邊a的對(duì)角為θ．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）本題屬于解三角形問題，它是“已知兩邊及一邊所對(duì)的角，求第三邊”的問題，解決這個(gè)問題可以有兩種方法，一種是先用正弦定理求出已知兩邊所對(duì)的角中未知的一角，從而可求得第三角，然后用余弦定理求出第三邊，也可以直接用余弦定理列出待求邊的方程，通過解方程求出第三邊；
（2）首先要證明長(zhǎng)為a、b、c的線段能構(gòu)成三角形，即證|b-c|＜a＜b+c，即證（b-c）²=b²+c²-2bc＜a²＜（b+c）²=b²+c²+2bc，而這個(gè)不等式通過已知條件，再利用-1＜cosθ＜1易得，其次再由余弦定理很快可得θ=A．

解答： 解：（1）∵a=

3

，c=1，且∠A=60°，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即3=1+b²-2bcos60°，
∴3=b²-b+1，
解得：b=2或b=-1（舍去），
則b=2；
（2）證明：∵θ∈（0，π），
∴cosθ∈（-1，1），
∴（b-c）²=b²+c²-2bc＜b²+c²-2bccosθ=a²＜b²+c²+2bc=（b+c）²，
即|b-c|＜a＜b+c，
∴長(zhǎng)為a，b，c能構(gòu)成三角形，不妨記為△ABC，
在△ABC中，由余弦定理可設(shè)cosA=

b2+c2-a2

2bc

=cosθ，即cosA=cosθ，
∵A，θ∈（0，π），
∴由y=cosx的單調(diào)性可得A=θ，
則邊a的對(duì)角為θ．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．