Question

已知F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°，橢圓的短半軸長為b=

3

，則三角形△PF₁F₂的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓的定義，得m+n=2a…①，再在△F₁PF₂中用余弦定理，得m²+n²-mn=4c²…②．由①②聯(lián)解，得mn=

4

3

b2
，最后用根據(jù)正弦定理關(guān)于面積的公式，可得△PF₁F₂的面積．

解答： 解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n
則根據(jù)橢圓的定義，得m+n=2a…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，
∴根據(jù)余弦定理，得4c²=m²+n²-2mncos60°，
即m²+n²-mn=4c²…②
∴①②聯(lián)解，得mn=

4

3

b2
根據(jù)正弦定理，得△PF₁F₂的面積為：S=

1

2

mnsin60°=

1

2

•

4

3

•3•

3

2

=

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上一點(diǎn)對兩個(gè)焦點(diǎn)的張角為60°，求橢圓兩焦點(diǎn)與該點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，著重考查了橢圓的簡單性質(zhì)和正、余弦定理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．