Question

一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數(shù)：f₁（x）=x，f₂（x）=x²，f₃（x）=x³，f₄（x）=x⁴，f₅（x）=xcosx，f₆（x）=xsinx．
（Ⅰ）從中任意拿取2張卡片，其中至少有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)，在此條件下求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由已知得6個函數(shù)中有三奇函數(shù)和三個偶函數(shù)，由此能求出所求概率．
（2）由已知得ξ=1、2、3、4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出抽取次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（1）∵f₁（x）=x，f₃（x）=x³，f₅（x）=xcosx都是奇函數(shù)，
f₂（x）=x²，f₄（x）=x⁴，f₆（x）=xsinx都是偶函數(shù)，
即6個函數(shù)中有三奇函數(shù)和三個偶函數(shù)，
故共有

C

2 3

+

C

1 3

×

C

1 3

=12取法，
故所求概率P=

C 2 3

12

=

1

4

（2）由已知得ξ=1、2、3、4，
P（ξ=1）=

C 1 3

C 1 6

=

1

2

，
P（ξ=2）=

C 1 3 C 1 3

C 1 6 C 1 5

=

3

10

，
P（ξ=3）=

C 1 3 C 1 2 C 1 3

C 1 6 C 1 5 C 1 4

=

3

20

，
P（ξ=4）=

C 1 3 C 1 2 C 1 1 C 1 3

C 1 6 C 1 5 C 1 4 C 1 3

=

1

20

，
∴ξ的分布列如下：

ξ	1	2	3	4
p	1 2	3 10	3 20	1 20

故Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．