Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)P（-2，1），求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，直接由題意列等式，整理后即可得到M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程為y-1=k（x+2），和（Ⅰ）中的軌跡方程聯(lián)立化為關(guān)于y的一元二次方程，求出判別式，再在直線y-1=k（x+2）中取y=0得到x0=-

2k+1

k

．然后分判別式小于0、等于0、大于0結(jié)合x₀＜0求解使直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），依題意得：|MF|=|x|+1，即

(x-1)2+y2

=|x|+1，
化簡(jiǎn)得，y²=2|x|+2x．
∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2=

4x，x≥0 0，x＜0

；
（Ⅱ）在點(diǎn)M的軌跡C中，記C₁：y²=4x（x≥0），C₂：y=0（x＜0）．
依題意，可設(shè)直線l的方程為y-1=k（x+2）．
由方程組

y-1=k(x+2) y2=4x

，可得ky²-4y+4（2k+1）=0．
①當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)y=1，把y=1代入軌跡C的方程，得x=

1

4

．
故此時(shí)直線l：y=1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)（

1

4

，1）．
②當(dāng)k≠0時(shí)，方程ky²-4y+4（2k+1）=0的判別式為△=-16（2k²+k-1）．
設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為（x₀，0），
則由y-1=k（x+2），取y=0得x0=-

2k+1

k

．
若

△=-16(2k2+k-1)＜0 x0=- 2k+1 k ＜0

，解得k＜-1或k＞

1

2

．
即當(dāng)k∈(-∞，-1)∪(

1

2

，+∞)時(shí)，直線l與C₁沒有公共點(diǎn)，與C₂有一個(gè)公共點(diǎn)，
故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)．
若

△=0 x0＜0

或

△＞0 x0≥0

，解得k=-1或k=

1

2

或-

1

2

≤k＜0．
即當(dāng)k=-1或k=

1

2

時(shí)，直線l與C₁只有一個(gè)公共點(diǎn)，與C₂有一個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)-

1

2

≤k＜0時(shí)，直線l與C₁有兩個(gè)公共點(diǎn)，與C₂無公共點(diǎn)．
故當(dāng)k=-1或k=

1

2

或-

1

2

≤k＜0時(shí)，直線l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)．
若

△=-16(2k2+k-1)＞0 x0=- 2k+1 k ＜0

，解得-1＜k＜-

1

2

或0＜k＜

1

2

．
即當(dāng)-1＜k＜-

1

2

或0＜k＜

1

2

時(shí)，直線l與C₁有兩個(gè)公共點(diǎn)，與C₂有一個(gè)公共點(diǎn)．
此時(shí)直線l與C恰有三個(gè)公共點(diǎn)．
綜上，當(dāng)k∈(-∞，-1)∪(

1

2

，+∞)∪{0}時(shí)，直線l與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)k∈[-

1

2

，0)∪{-1，

1

2

}時(shí)，直線l與C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)k∈(-1，-

1

2

)∪(0，

1

2

)時(shí)，直線l與軌跡C恰有三個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，重點(diǎn)是做到正確分類，是中檔題．