Question

設S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，T_n為等比數(shù)列{b_n}的前n項積．
（1）求證：數(shù)列S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數(shù)列，并給出更一般的結論（只要求給出結論，不必證明）；
（2）若T₁₀=10，T₂₀=20，求T₃₀的值？類比（1）你能得到什么結論？（只要求給出結論，不必證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則，由此能夠證明對于任意正整數(shù)k，數(shù)列S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…成等差數(shù)列．
（2），由T₁₀=10，T₂₀=20，得b₁¹⁰q⁴⁵=10，b₁²⁰q¹⁹⁰=20，得，，由此能夠證明數(shù)列T_k，，，…成等比數(shù)列．
解答：（1）證明：設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則，
所以．
同理S₂₀=20a₁+190d，S₃₀=30a₁+435d．
所以，S₂₀-S₁₀=10a₁+145d，S₃₀-S₂₀=10a₁+245d，
所以，S₁₀+（S₃₀-S₂₀）=20a₁+290d=2（S₂₀-S₁₀），
所以，數(shù)列S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數(shù)列．  …（5分）
∴對于任意正整數(shù)k，數(shù)列S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…成等差數(shù)列．…（7分）
（2）解：∵等比數(shù)列{b_n}的前n項積是T_n，
∴，
∵T₁₀=10，T₂₀=20，∴b₁¹⁰q⁴⁵=10，b₁²⁰q¹⁹⁰=20，
∴，，
故．…（12分）
類比（1）能得到結論：對于任意正整數(shù)k，數(shù)列T_k，，，…成等比數(shù)列．…（14分）
點評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯點是計算繁瑣，容易失誤．解題時要認真審題，注意培養(yǎng)計算能力．