已知函數(shù)f（x）對任意的x∈R都有f（1+x）=f（1-x），函數(shù)f(x+
1
2
)是奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=2x-1，則方程f(x)=-
1
3
在區(qū)間[-3，4]內的所有根的和等于
11
3
11
3
．
分析：根據(jù)f（1+x）=f（1-x）可得函數(shù)關于直線x=1對稱，函數(shù)f(x+
1
2
)是奇函數(shù)，可得函數(shù)關于（
1
2
，0）對稱，結合函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，即可得到結論．
解答：解：∵f（1+x）=f（1-x），∴f（x）=f（2-x），∴函數(shù)關于直線x=1對稱
∵函數(shù)f(x+
1
2
)是奇函數(shù)，∴f(-x+
1
2
)=-f(x+
1
2
)，
∴函數(shù)關于（
1
2
，0）對稱
結合函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的對稱性，可得方程f(x)=-
1
3
在區(qū)間[-3，4]內的所有根的和等于（-2）×2+2×2+
11
3
=
11
3

故答案為：
11
3
點評：本題考查函數(shù)的性質，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，確定函數(shù)的性質是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質（結論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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