Question

13．已知函數f（x）=mx-$\frac{m-1+2e}{x}$-lnx，m∈R函數g（x）=$\frac{1}{xcosθ}$+lnx在[1，+∞）上為增函數，且θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）當m=0時，求函數f（x）的單調區(qū)間和極值；
（Ⅲ）若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據函數的單調性得得到cosθ-1≥0，求出θ的值即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極大值即可；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）-g（x），通過討論m的范圍，結合函數的單調性求出F（x）的最大值，從而確定m的范圍即可．

解答 解（Ⅰ）∵g′（x）=$\frac{xcosθ-1}{{x}^{2}cosθ}$，又g（x）在[1，+∞）遞增，
只需cosθ-1≥0，且θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴θ=0；
（Ⅱ）當m=0時，f（x）=$\frac{1-2e}{x}$-lnx（x＞0），
f′（x）=$\frac{（2e-1）-x}{{x}^{2}}$，
當0＜x＜2e-1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當x＞2e-1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
∴f（x）_極大值=f（2e-1）=-1-ln（2e-1）；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）-g（x）=mx-$\frac{m+2e}{x}$-2lnx，x∈[1，e]，
（1）m≤0時，∵x∈[1，e]，
∴F（x）=m（x-$\frac{1}{x}$）-$\frac{2e}{x}$-2lnx＜0，
∴在[1，e]上不存在x₀，使得f（x₀）＞g（x₀），
（2）m＞0時，F′（x）=$\frac{{mx}^{2}-2x+m+2e}{{x}^{2}}$，
∵x∈[1，e]，∴mx²+m＞0，2e-2x≥0，
∴F′（x）＞0，F（x）遞增，
∴F（x）_max=F（e）=me-$\frac{m}{e}$-4＞0，
∴m＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$．

點評 本題考查了函數的單調性、極值、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．