Question

【題目】已知圓C經(jīng)過(guò)P(4，－2)，Q(－1，3)兩點(diǎn)，且圓心C在直線x＋y－1＝0上．

(1)求圓C的方程；

(2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點(diǎn)A，B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）y＝－x＋4或y＝－x－3

【解析】

（1）由圓的性質(zhì)知圓心在線段的垂直平分線上，因此可求得線段的垂直平分線的方程，與方程聯(lián)立，可求得圓心坐標(biāo)，再求得半徑后可得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)的方程為．代入圓方程，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－6．而以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則有，即，由此可求得，得直線方程．

(1)∵P(4，－2)，Q(－1，3)，

∴線段PQ的中點(diǎn)M，斜率kPQ＝－1，

則PQ的垂直平分線方程為，

即．

解方程組

得

∴圓心C(1，0)，半徑．

故圓C的方程為．

(2)由l∥PQ，設(shè)l的方程為．

代入圓C的方程，得．

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－6．

故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)，

依題意知OA⊥OB，則．

∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝0，

于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝0，即m2－m－12＝0．

∴m＝4或m＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足Δ>0．

故直線l的方程為y＝－x＋4或y＝－x－3．