Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=AB，G為PD的中點(diǎn)，E點(diǎn)在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（I）求證：AG∥平面PEC；
（Ⅱ）求面PEC與面PAD所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍼EC⊥平面PDC，過E作交線PC的垂線EF，得到EF⊥平面PCD，經(jīng)證明可得AG⊥平面PCD，從而得到AG∥EF，
進(jìn)一步說明線面平行；
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAD的法向量，運(yùn)用兩個(gè)平面的法向量求二面角的大�。�
解答：（Ⅰ）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG，又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD，
作EF⊥PC于F，因?yàn)槠矫鍼EC⊥面PCD，∴EF⊥平面PCD，
又由AG⊥平面PCD，∴EF∥AG，
∵AG在平面PCE外，EF在平面PEC內(nèi)，
∴AG∥平面PEC．
（Ⅱ）解：由EF∥AG，F(xiàn)G∥AE，∴EG∥CD，即F是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)G=CD，即E為AB的中點(diǎn)，
建立如圖所示的坐標(biāo)系．
設(shè)是平面PEC的法向量，設(shè)AB=2，則E（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
，．
由①
②
聯(lián)立①②，取z₁=1得：x₁=2，y₁=-1，z₁=1，∴．
設(shè)面PEC與面PAD所成二面角，∴，
所以所求的二面角的余弦值為．
點(diǎn)評：本題考查了直線和平面平行的性質(zhì)，考查了二面角的平面角，求二面角的平面角可以建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，然后借助于公式求解，求出θ后，注意分析θ是二面角的平面角還是其補(bǔ)角，此題是中檔題．