Question

已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)為a、b、c，且bcosC=（2a-c）cosB，則y=cos²A+cos²C的最小值為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：△ABC中，由正弦定理可求得cosB=，從而求得 B=，A+C=．利用兩角和差的正弦公式，二倍角公式化簡(jiǎn) y=cos²A+cos²C=1-sin（2A-），再由
-＜2A-＜，求得-＜sin（2A-）≤1，由此可得y的最小值．
解答：△ABC中，由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，即sin（B+C）=2sinAcosB．
因?yàn)?＜A＜π，所以sinA≠0，∴cosB=，∴B=，A+C=．
∴2A+2C=，則y=cos²A+cos²C=+=+=1+[cos2A-sin2A]
=1-sin（2A-）．
∵0＜2A＜，∴-＜2A-＜，則-＜sin（2A-）≤1，
故y=cos²A+cos²C的最小值為 1-=，
故答案為 ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，兩角和差的正弦公式，二倍角公式以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．