Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=，AD=BD，EC丄底面ABCD，F(xiàn)D丄底面ABCD 且有EC=FD=2．
（I ）求證：AD丄BF；
（II ）若線段EC上一點(diǎn)M在平面BDF上的射影恰好是BF的中點(diǎn)N，試求二面角 B-MF-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BDC=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABD=45°，又AD=DB，從而得到∠ADB=90°，可得AD⊥DB；由線面垂直的性質(zhì)可得FD⊥DB，利用線面垂直的判定定理可得AD⊥平面FDB，即可得到線線垂直；
（II）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角．
解答：（Ⅰ）證明：∵∠BCD=90°，BC=CD=，∴，∠BDC=45°
又由AB∥DC，可知∠ABD=∠BDC=45°，
∵AD=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴∠ADB=90°，∴AD⊥DB．
∵FD丄底面ABCD，∴FD⊥DB．
又FD∩DB=D，∴AD⊥平面FBD，
∴AD⊥BF．
（Ⅱ）解：如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線CD、CB、CE方向?yàn)閤、y、z軸建系．
可得D，，，，．
又∵N恰好為BF的中點(diǎn)，∴，，．
設(shè)M（0，0，z），∴．
又∵，，可得z=1．
∴M（0，0，1），故M為線段CE的中點(diǎn)．
設(shè)平面BMF的一個(gè)法向量，且=，
，由，可得，
令y=1，則x=0，z=．得．
又∵平面MFC的一個(gè)法向量為，
∴==．
故所求二面角B-MF-C的余弦值為．
點(diǎn)評：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、線線垂直、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得出二面角是解題的關(guān)鍵．