Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC═3，BC=2，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且CF=2．
（1）求證：B₁F⊥平面ADF；
（2）若

C1P

=

1

3

C1A1

，求證：PF∥面ADB₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先利用線面垂直的判定定理證明出AD⊥平面B₁BCC₁．進(jìn)而證明出AD⊥B₁F．同時(shí)證明出B₁F⊥FD．最后根據(jù)線面垂直的判定證明出B₁F⊥平面ADF．
（2）根據(jù)面面平行的判定定理證明出平面PEF與平面ADB₁平行，最后根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明出PF∥面ADB₁．

解答： （1）證明：∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁B⊥底面ABC，AD?底面ABC，
∴AD⊥B₁B．
∵BC∩B₁B=B，
∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵B₁F?平面B₁BCC₁，
∴AD⊥B₁F．
在矩形B₁BCC₁中，
∵C₁F=CD=1，B₁C₁=CF=2，
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁．
∴∠CFD=∠C₁B₁F．
∴∠B₁FD=90°，
∴B₁F⊥FD．
∵AD∩FD=D，
∴B₁F⊥平面ADF．
（2）取B₁C₁中點(diǎn)為D₁，在 C₁D₁上取點(diǎn)E，使C1E=

1

3

C1D1，連接PE，EF．
∵

C1P

C1A1

=

C1E

C1D1

=

1

3

∴PE∥A1D1，
又A₁D₁∥AD，
∴PE∥AD，
∵AD?面ADB₁，PE?面ADB₁
∴PE∥面ADB₁
∵CF=2，CC₁=3
∵

C1F

C1C

=

C1E

C1D1

=

1

3

∴EF∥CD1∥DB1，
∵DB₁?面ADB₁，EF?面ADB₁

∴EF∥面ADB1

，
∵PE∩EF=E，
∵PF⊆面PEF，
∴平面PEF∥面ADB₁．
∵PF?平面PEF
∴PF∥面ADB₁．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直和線面平行的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生空間觀察能力和推理能力．