Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3ax，g（x）=bx²+clnx，且g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為2y-1=0．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求g（x）的導數(shù)g′（x），由g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為2y-1=0，得切線斜率k=g′（1）=0，g（1）=

1

2

；從而求得b、c的值；
（2）由f（x），g（x）得F（x）的解析式與定義域，求導函數(shù)F′（x），求出F′（x）＞0時x的取值范圍即F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵g（x）=bx²+clnx，
∴g′（x）=2bx+

c

x

；
由g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為2y-1=0，
得

g′(1)=0 g(1)= 1 2

，即

2b+c=0 b= 1 2

；
∴b=

1

2

，c=-1，
∴g（x）=

1

2

x²-lnx．
（2）∵f（x）=ax³-3ax，g（x）=

1

2

x²-lnx；
∴F（x）=f（x）+g（x）=ax³-3ax+

1

2

x²-lnx，定義域為（0，+∞），
∴F′（x）=3ax²-3a+x-

1

x

=

(x+1)(x-1)(3ax+1)

x

，
令F′（x）＞0，得（x-1）（3ax+1）＞0（*）
①若a≥0，則x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，即F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
②若a＜0，（*）式等價于（x-1）（-3ax-1）＜0，
當a=-

1

3

，則（x-1）²＜0無解，F(xiàn)′（x）＞0不成立，即F（x）無單調(diào)增區(qū)間；
當a＜-

1

3

，則-

1

3a

＜x＜1時，F(xiàn)′（x）＞0，即F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-

1

3a

，1）；
當-

1

3

＜a＜0，則1＜x＜-

1

3a

時，F(xiàn)′（x）＞0，即F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，-

1

3a

）．

點評：本題考查了應用導數(shù)求函數(shù)圖象的切線斜率以及應用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性問題，是易錯題．