Question

7．已知實數(shù)x和y滿足方程：（x+1）²+y²=$\frac{1}{4}$，試求：
（1）$\frac{y}{x}$的最值；
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$的最值．

Answer 1

分析 （1）設$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，圓心（-1，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$是圓上點與（2，3）距離，由于（2，3）與圓心的距離為3$\sqrt{2}$|，答案可得．

解答 解：（1）設$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，圓心（-1，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．
由$\frac{|-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，解得k²=$\frac{1}{3}$．
所以k_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，k_min=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$是圓上點與（2，3）距離，由于（2，3）與圓心的距離為3$\sqrt{2}$
則（$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$）_max=3$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，（$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$）_min=3$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了圓的方程的綜合運用．考查了學生轉化和化歸的思想和數(shù)形結合的思想．