Question

15．拋物線C₁：y=（x-m）²+m+1（m＞0）的頂點(diǎn)為A，拋物線C₂開(kāi)口向下且頂點(diǎn)B在y軸上，若A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P（1，2）對(duì)稱．
（1）求m的值；
（2）若拋物線C₂與x軸的正半軸的交點(diǎn)是C，當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求拋物線C₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）由C₁：y=（x-m）²+m+1（m＞0），可求得頂點(diǎn)A（m，m+1），由于點(diǎn)B在y軸上，根據(jù)對(duì)稱即可解得m=2；
（2）由（1）知A（2，3）、B（0，1）根據(jù)勾股定理可得AB²=（2-0）²+（3-1）²=8由拋物線C₂的頂點(diǎn)B（0，1）在y軸上得到拋物線C₂的解析式為y=ax²+1設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（c，0），根據(jù)勾股定理得到AC²=（2-c）²+3²=c²-4c+13；BC²=c²+1由于△ABC是直角三角形，進(jìn)行分類討論即可求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵C₁：y=（x-m）²+m+1（m＞0）
∴頂點(diǎn)A（m，m+1），
∵點(diǎn)B在y軸上，
∴設(shè)B（0，b），
又A、B關(guān)于點(diǎn)P（1，2）對(duì)稱，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+m}{2}=1}\\{\frac{b+m+1}{2}=2}\end{array}\right.$，解得：m=2；
（2）由（1）知A（2，3）、B（0，1）
∴AB²=（2-0）²+（3-1）²=8
∵拋物線C₂的頂點(diǎn)B（0，1）在y軸上
∴拋物線C₂的解析式為y=ax²+1
設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（c，0），
∴AC²=（2-c）²+3²=c²-4c+13；BC²=c²+1
∵△ABC是直角三角形，
則：①當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，AC²=BC²+AB²，
即c²-4c+13=（c²+1）+8，解得：c=1
∴C₁（1，0），
將點(diǎn)C₁坐標(biāo)代入y=ax²+1得：a+1=0；解得：a=-1，
∴拋物線C₂的解析式為：y=-x²+1，
②當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，BC²=AC²+AB²，
即c²+1=（c²-4c+13）+8，解得：c=5，
∴C₂（5，0），
將點(diǎn)C₂坐標(biāo)代入y=ax²+1得：25a+1=0，解得：a=-$\frac{1}{25}$，
∴拋物線C₂的解析式為：y=-$\frac{1}{25}$x²+1，
綜上，當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，拋物線C₂的解析式為：y=-x²+1或y=-$\frac{1}{25}$x²+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，正確理解關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．