Question

已知拋物線E的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，拋物線上一點(diǎn)P（m，4）到其準(zhǔn)線的距離為5，過點(diǎn)F的直線l依次與拋物線E及圓x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四點(diǎn)．
（1）求拋物線E的方程；
（2）探究|AC|•|BD|是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；
（3）過點(diǎn)F作一條直線m與直線l垂直，且與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，求四邊形AMBN面積最小值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線E的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，拋物線上一點(diǎn)P（m，4）到其準(zhǔn)線的距離為5，根據(jù)拋物線定義得4+

p

2

=5，由此能求出拋物線方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|AC|=|AF|-|CF|=|AF|-1|BD|=|BF|-|DF|=|BF|-1，由拋物線定義得：|AF|=y₁+1|BF|=y₂+1，由此能夠推導(dǎo)出|AC|•|BD|=y1y2=

x12

4

•

x22

4

=1為定值．
（3）設(shè)直線AB方程：y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立得：x²-4kx-4=0，由弦長(zhǎng)公式|AB|=

1+k2

|x1-x2|=4(1+k2)，同理直線MN方程：y=-

1

k

x+1，與拋物線方程聯(lián)立得：x2+

4

k

x-4=0，由弦長(zhǎng)公式得|MN|=4(1+

1

k2

)，由此能求出四邊形AMBN面積最小值．

解答：解：（1）∵拋物線E的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，
拋物線上一點(diǎn)P（m，4）到其準(zhǔn)線的距離為5，
∴根據(jù)拋物線定義得4+

p

2

=5，
解得p=2，
∴拋物線方程x²=4y．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
|AC|=|AF|-|CF|=|AF|-1|BD|=|BF|-|DF|=|BF|-1，
由拋物線定義得：|AF|=y₁+1|BF|=y₂+1，
∴|AC|•|BD|=y₁y₂，
設(shè)直線AB方程：y=kx+1，
與拋物線方程聯(lián)立得：x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴|AC|•|BD|=y1y2=

x12

4

•

x22

4

=1為定值．
（3）設(shè)直線AB方程：y=kx+1，
與拋物線方程聯(lián)立得：x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由弦長(zhǎng)公式|AB|=

1+k2

|x1-x2|=4(1+k2)，
同理直線MN方程：y=-

1

k

x+1，
與拋物線方程聯(lián)立得：x2+

4

k

x-4=0，
由弦長(zhǎng)公式得|MN|=4(1+

1

k2

)，
所以四邊形AMBN的面積S=

1

2

|AB||MN|=8(1+k2)(1+

1

k2

)
=8(2+k2+

1

k2

)≥32，
當(dāng)k=±1時(shí)，取“=”．
故四邊形AMBN面積最小值為32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，探究|AC|•|BD|是否為定值，考查四邊形面積最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．