Question

已知函數(shù)f(x)=4x+

a

x

+b(a，b∈R)為奇函數(shù)．
（Ⅰ）若f（1）=5，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)a=-2時(shí)，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求實(shí)數(shù)t的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)a≥1時(shí)，求證：函數(shù)g（x）=f（2^x）-c（c∈R）在（-∞，-1]上至多有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由奇函數(shù)定義可得f（-x）=-f（x），可求b，由f（1）=5可得a；
（Ⅱ）不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，等價(jià)于f（x）_max≤t，易判斷a=-2時(shí)f（x）在[1，4]上的單調(diào)性，由單調(diào)性可得最大值；
（Ⅲ）表示出g（x），只需判定函數(shù)g（x）在（-∞，-1]單調(diào)即可，利用單調(diào)性的定義可作出判斷；

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=4x+

a

x

+b(a，b∈R)為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即-4x-

a

x

+b=-4x-

a

x

-b，
∴b=0，
又f（1）=4+a+b=5，
∴a=1
∴函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=4x+

1

x

．
（Ⅱ）a=-2，f(x)=4x-

2

x

．
∵函數(shù)y=4x，y=-

2

x

在[1，4]均單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在[1，4]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，f(x)max=f(4)=

31

2

．
∵不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，
∴t≥

31

2

，
∴實(shí)數(shù)t的最小值為

31

2

．
（Ⅲ）證明：g(x)=4•2x+

a

2x

-c，
設(shè)x₁＜x₂≤-1，

g(x1)-g(x2)=(4•2x1+ a 2x1 -c)-(4•2x2+ a 2x2 -c) = 4•22x1+x2+a•2x2-4•22x2+x1-a•2x1 2x1+x2 = 4•2x1+x2(2x1-2x2)-a(2x1-2x2) 2x1+x2

=

(4•2x1+x2-a)(2x1-2x2)

2x1+x2

，
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x1+x2＜-2，4•2x1+x2＜4•2-2=1，
∵a≥1，即-a≤-1，
∴4•2x1+x2-a＜0，又2x1-2x2＜0，2x1+x2＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴函數(shù)g（x）在（-∞，-1]單調(diào)遞減，
又c∈R，可知函數(shù)g（x）在（-∞，-1]上至多有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用，考查函數(shù)最值的求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)分析解決問題的能力，屬中檔題．