Question

【題目】已知焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓C過(guò)點(diǎn)T（1，1），記l為圓O：x2+y2=1的切線

（1）求橢圓C的方程；

（2）若l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求證：∠AOB為定值．

Answer 1

【答案】（1）=1．（2）見(jiàn)解析．

【解析】

（1）利用長(zhǎng)軸長(zhǎng)和橢圓上的點(diǎn)，構(gòu)造方程求解出橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得坐標(biāo)，可求得；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出，整理化簡(jiǎn)可得，可得；從而可知為定值.

（1）焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓過(guò)點(diǎn)

設(shè)橢圓方程為

則，解得，

橢圓的方程為

（2）證明：為圓的切線

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，的方程為

又與橢圓交于兩點(diǎn)

則，或，

，或，

當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)的方程為：

則，即

聯(lián)立，得

由題意，設(shè)，

則，

綜上可知，為定值