Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x³+x+1，則f（x）在R上的解析式為

f(x)=

x3+x+1 ，x＞0 0 ，x=0 x3+x-1 ，x＜0

．

Answer 1

分析：首先考慮x=0時(shí)的情況，利用奇函數(shù)的定義即可獲得函數(shù)值，然后考慮x＜0時(shí)的情況，任設(shè)x∈（-∞，0），
則-x＞0，利用已知條件：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x³+x+1和函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，化簡(jiǎn)即可獲得x＜0時(shí)的解析式．最后寫成分段函數(shù)的形式即可．

解答：解：由題意可知：
當(dāng)x=0時(shí)，∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-0）=-f（0）=f（0），∴f（0=0）；
當(dāng)x＜0時(shí)，任設(shè)x∈（-∞，0），則-x＞0，又因?yàn)椋寒?dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x³+x+1，
所以：f（-x）=（-x）³-x+1=-x³-x+1，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴-f（x）=-x³-x+1，
∴f（x）=x³+x-1．
所以函數(shù)f（x）在R上的解析式為：f(x)=

x3+x+1 ，x＞0 0 ，x=0 x3+x-1 ，x＜0

．
故答案為：f(x)=

x3+x+1 ，x＞0 0 ，x=0 x3+x-1 ，x＜0

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)的奇偶性和解析式求解的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、奇函數(shù)的定義以及問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．