Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=ln

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R）有下列命題：
①函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
②在區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的最小值為ln2；
④在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
其中正確命題的序號為（　�。�

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：根據(jù)偶函數(shù)的定義，可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，進(jìn)而判斷①；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，結(jié)合“對勾”函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)的單調(diào)性，分析出函數(shù)的單調(diào)性，可判斷②④，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析出函數(shù)的最小值，可判斷③

解答：解：①函數(shù)y=f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且f（-x）=ln

(-x)2+1

|-x|

=ln

x2+1

|x|

=f（x），故函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，即①正確；
②當(dāng)x＞0時，令t=

x2+1

|x|

=

x2+1

x

=x+

1

x

，則y=lnt，∵t=x+

1

x

在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，y=lnt在其定義域為增函數(shù)，故函數(shù)y=f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，結(jié)合①的結(jié)論及偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，可得在區(qū)間（-∞，-1）上，函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，在（-1，0）上是增函數(shù)，故②錯誤，④正確；
③由②中函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)x=±1時，函數(shù)f（x）取最小值為ln2，故③正確．
故正確命題的序號為①③④
故選C

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，最值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．