設P為橢圓
x2
4
+y2=1上任意一點，O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓的左焦點，點M滿足
OM
=
1
2
(
OP
+
OF
)，則|
OM
|+|
MF
|=______．
令橢圓的右焦點為F2，以OP、OF為鄰邊作平行四邊形OPAF．
由平行四邊形法則，有：
OA
=
OP
+
OF
，
而點M滿足
OM
=
1
2
(
OP
+
OF
)，
∴
OA
=2
OM
，
∴M是OA的中點．
∵OPAF是平行四邊形，
∴OA、PF互相平分，又M是OA的中點，
∴M是PF的中點，
∴MF=
1
2
PF．
顯然，由橢圓方程可知：原點O是橢圓的中心，
∴O是FF2的中點．
∵M、O分別是PF、FF2的中點，
∴OM是△PFF2的中位線，
∴OM=
1
2
PF2．
由MF=
1
2
PF、OM=OM=
1
2
PF2，
得：OM+MF=
1
2
（PF+PF2）
由橢圓定義，有：PF+PF2=2a=2×2=4，
∴OM+MF=2．
∴|
OM
|+|
MF
|=OM+MF=2．
故答案為：2
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設圓C1：x2+y2-10x-6y+32=0，動圓C2：x2+y2-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求證：圓C1、圓C2相交于兩個定點；
（Ⅱ）設點P是橢圓
x24
+y2=1上的點，過點P作圓C1的一條切線，切點為T1，過點P作圓C2的一條切線，切點為T2，問：是否存在點P，使無窮多個圓C2，滿足PT1=PT2？如果存在，求出所有這樣的點P；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：
x24
+y2=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N；
（I）設直線AP、BP的斜率分別為k1，k2求證：k1•k2為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點？請證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設P是橢圓C上任意一點，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，雙曲線C1：
x2
4
-
y2
b2
=1與橢圓C2：
x2
4
+
y2
b2
=1（0＜b＜2）的左、右頂點分別為A1、A2第一象限內(nèi)的點P在雙曲線C1上，線段OP與橢圓C2交于點A，O為坐標原點．
（I）求證：
kAA1+kAA2
kPA1+kPA2
為定值（其中kAA1表示直線AA1的斜率，kAA2等意義類似）；
（II）證明：△OAA2與△OA2P不相似．
（III）設滿足{（x，y）|
x2
4
-
y2
m2
=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|
x2
4
-
y2
3
＞1，x∈R，y∈R} 的正數(shù)m的最大值是b，求b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•重慶一模）已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1d的右焦點，點A、B為拋物線上的兩點，O是拋物線的頂點，OA⊥OB．
（I）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）求證：直線AB過定點M（4，0）；
（III）設弦AB的中點為P，求點P到直線x-y=0的最小值．

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同步練習冊答案