20.

A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)（x）組成的集合：①對任意的都有(2x);②存在常數(shù)L（0＜L＜1），使得對任意的x1,x2[1，2]，都有|（2x1）- (2 x2)|.

（Ⅰ）設（x）=證明：（x）A:

（Ⅱ）設（x），如果存在x0(1,2),使得x0=（2x0）,那么這樣的x0是唯一的：

（Ⅲ）設任取x1(1,2),令xn+1=（2xn）,n=1,2……證明：給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p,成立不等式Equation.3。

解（Ⅰ）由題設，對任意

       ∵

       又∵對任意的

    

 

而

∴

令，顯然存在常數(shù)L(0＜L＜1),

使得

綜上所述，可知

（Ⅱ）（運用反證法證明）

     設存在兩個實數(shù)。

     因為則由

∴L≥1，這與題設矛盾，從而所證命題結論成立。

（Ⅲ）因為

∴

            （其中0＜L＜1）

∴

                  

                   Equation.3

 

故∴對于給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p不等式均成立

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•延慶縣一模）A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合：
（1）對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常數(shù)L（0＜L＜1），使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|．
（Ⅰ）設φ（x）=
31+x
，x∈[1，2]，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么這樣的x0是唯一的．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•延慶縣一模）A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合：
（1）對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常數(shù)L（0＜L＜0），使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|?（2x1）-?（2x2）|≤L|x1-x2|．
（Ⅰ）設φ（x）=
31+x
，x∈[2，4]，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么這樣的x0是唯一的；
（Ⅲ）設φ（x）∈A，任取xn∈（1，2），令xn+1=φ（2nx），n=1，2，…，證明：給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|成立．

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科目：高中數(shù)學 來源：延慶縣一模 題型：解答題

A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合：
（1）對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常數(shù)L（0＜L＜0），使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|?（2x1）-?（2x2）|≤L|x1-x2|．
（Ⅰ）設φ（x）=
31+x
，x∈[2，4]，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么這樣的x0是唯一的；
（Ⅲ）設φ（x）∈A，任取xn∈（1，2），令xn+1=φ（2nx），n=1，2，…，證明：給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|成立．

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科目：高中數(shù)學 來源：廣東省高考真題 題型：證明題

A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合：
①對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2） ；
②存在常數(shù)L（0＜L＜1），使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|，
（Ⅰ）設，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么這樣的x0是唯一的；
（Ⅲ）設φ（x）∈A，任取x1∈（1，2），令xn+1=φ（2xn），n=1，2，…，證明：給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，成立不等式。

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