Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)m，使得a_m，a_m+1，a_m+2成等比數(shù)列，若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題中給出的式子先求出當(dāng)n=1和n=2時(shí)，a_n的表達(dá)式，再用公式求出當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-4，最后綜合可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）首先根據(jù)m=1和m=2驗(yàn)證a_m，a_m+1，a_m+2成等比數(shù)列是否成立，然后討論當(dāng)m≥3時(shí)，假設(shè)a_m，a_m+1，a_m+2成等比數(shù)列成立，用等比中項(xiàng)列式列式，得到矛盾，從而說(shuō)明m≥3時(shí)a_m，a_m+1，a_m+2成等比數(shù)列不成立．最后綜合可得正確結(jié)論．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=2，∴a₂=S₂-a₁=1…（2分）
當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-4
∴…（6分）
（2）①當(dāng)m=1時(shí)a₁=1，a₂=1，a₃=2不能成等比數(shù)列…（8分）
②當(dāng)m=2時(shí)a₂=1，a₃=2，a₄=4，成等比數(shù)列…（10分）
③當(dāng)m≥3時(shí)，若a_m，a_m+1，a_m+2成等比數(shù)列，
則a_m•a_m+2=a_m+1²即（2m-4）•2m=（2m-2）² 
得4=0矛盾，不可能成立 …（9分）
綜上所述，得存在m=2使得a_m，a_m+1，a_m+2成等比數(shù)列…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，以及等比中項(xiàng)的概念，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．