Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)P在A₁B上，且AB⊥CP．
（1）證明：P為A₁B中點(diǎn)；
（2）若A₁B⊥AC₁，求三棱錐P-A₁AC的體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)Q，
∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO
∴AB⊥QP
∴P為A₁B的中點(diǎn)（4分）
（Ⅱ）連接AB₁，取AC中點(diǎn)R，連接A₁R，
則BR⊥平面A₁C₁CA，由已知A₁B⊥AC₁，
∴A₁R⊥AC₁，∴△AC₁C～△A₁RA
∴，∴AC=A₁A（6分）
則AA₁=，則AC=2
∵

∴h=（10分）
∴（12分）
分析：（1）取AB中點(diǎn)Q，CQ⊥AB，AB⊥CP?AB⊥QP?P為A₁B中點(diǎn)
（2）用等體積轉(zhuǎn)化，VP-A₁AC=V=CQ，
點(diǎn)評(píng)：求三棱錐的體積通常將體積轉(zhuǎn)化或直接求三棱錐的高和底面積進(jìn)行計(jì)算