Question

已知函數(shù)f（x）=alnx++1．
（Ⅰ）當(dāng)a=-時(shí)，求f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，有f（x）＞1+ln（-a）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=-時(shí)，，∴．
∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．---------------------------（2分）
∴f（x）在區(qū)間[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，
而f（1）=，f（）=，f（e）=，
∴f（x）_max=f（e）=，f（x）_min=f（1）=．---------------------------（4分）
（Ⅱ），x∈（0，+∞）．
①當(dāng)a+1≤0，即a≤-1時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；-------------（5分）
②當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；----------------（6分）
③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）
∴f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減；--------------------（8分）
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減；當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；-----------------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）_min=f（）
即原不等式等價(jià)于f（）＞1+ln（-a）--------------------------（10分）
即aln+-+1＞1+ln（-a）
整理得ln（a+1）＞-1
∴a＞-1，----------------------------（11分）
又∵-1＜a＜0，∴a的取值范圍為（-1，0）．---------------------------（12分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的最值在極值處與端點(diǎn)處取得，即可求得f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）_min=f（），即原不等式等價(jià)于f（）＞1+ln（-a），由此可求a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問題，確定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值是關(guān)鍵．