已知橢圓C:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738096488.gif)
上動點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738143202.gif)
到定點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738159486.gif)
,其中
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738159420.gif)
的距離
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738190401.gif)
的最小值為1.(1)請確定M點(diǎn)的坐標(biāo)(2)試問是否存在經(jīng)過M點(diǎn)的直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738205185.gif)
,使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738205185.gif)
與橢圓C的兩個交點(diǎn)A、B滿足條件
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738237548.gif)
(O為原點(diǎn)),若存在,求出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738205185.gif)
的方程,若不存在請說是理由。
【思維分析】此題解題關(guān)鍵是由條件
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738237548.gif)
知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738283403.gif)
從而將條件轉(zhuǎn)化點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算再結(jié)合韋達(dá)定理解答。
解析:設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738315433.gif)
,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738096488.gif)
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738471615.gif)
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738486919.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738502973.gif)
由于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738159420.gif)
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738533298.gif)
故當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738549439.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738564426.gif)
的最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738595396.gif)
此時
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738611247.gif)
,當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738627423.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738642232.gif)
取得最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738658519.gif)
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738673383.gif)
不合題意舍去。綜上所知當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738611247.gif)
是滿足題意此時M的坐標(biāo)為(1,0)。
(2)由題意知條件
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738237548.gif)
等價于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738283403.gif)
,當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738205185.gif)
的斜率不存在時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738205185.gif)
與C的交點(diǎn)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738767586.gif)
,此時
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738783421.gif)
,設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738205185.gif)
的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738814473.gif)
,代入橢圓方程整理得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738845794.gif)
,由于點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738861251.gif)
恒成立,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738283403.gif)
知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738907488.gif)
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738939811.gif)
,據(jù)韋達(dá)定理得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738954613.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121738970616.gif)
代入上式得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231217390011031.gif)
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121739001364.gif)
不合題意。綜上知這樣的直線不存在。
【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在解題過程中要注意將在向量給出的條件轉(zhuǎn)化向量的坐標(biāo)運(yùn)算,從而與兩交點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來才自然應(yīng)用韋達(dá)定理建立起關(guān)系式。此題解答具有很強(qiáng)的示范性,請同學(xué)們認(rèn)真體會、融會貫通。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
若橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823123756802476.gif)
=1(
a>
b>0)與直線
l:
x+
y=1在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn),求
a、
b所滿足的條件,并畫出點(diǎn)
P(
a,
b)的存在區(qū)域.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
如圖, 共頂點(diǎn)的橢圓①,②與雙曲線③,④的離心率分別
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231219042245287.gif)
為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121904240417.gif)
,其大小關(guān)系為 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,平面直角坐標(biāo)系
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121732168357.gif)
中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121732199394.gif)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121732215395.gif)
為兩等腰直角三角形,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121732246400.gif)
,
C(
a,0)(
a>0).設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121732199394.gif)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121732215395.gif)
的外接圓圓心分別為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121732293319.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121732355199.gif)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231217323711666.gif)
(Ⅰ)若⊙
M與直線
CD相切,求直線
CD的方程;
(Ⅱ)若直線
AB截⊙
N所得弦長為4,求⊙
N的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅲ)是否存在這樣的⊙
N,使得⊙
N上有且只有三個點(diǎn)到直線
AB的距離為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121732402217.gif)
,若存在,求此時⊙
N的標(biāo)準(zhǔn)方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)雙曲線方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121423860693.gif)
,P為雙曲線上任意一點(diǎn),F(xiàn)為雙曲線的一個焦點(diǎn),討論以|PF|為直徑的圓與圓x
2+y
2=a
2的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知A、B是過拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121351740564.gif)
焦點(diǎn)F的直線與拋物線的交點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),滿足
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121351755468.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121351771559.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121351787202.gif)
的值為
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知雙曲線的中心在原點(diǎn),離心率為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120041255227.gif)
,若它的一條準(zhǔn)線與拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120041255404.gif)
的準(zhǔn)線重合,則該雙曲線的方程是( )
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