Question

已知定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足以下三個條件：①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；③當(dāng)x₁，x₂∈[0，1]且x₁+x₂∈[0，1]時，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，則稱函數(shù)f（x）為“友誼函數(shù)”．給出下列命題：
（1）“友誼函數(shù)”f（x）一定滿足f（0）=0；
（2）函數(shù)y=log₂（x+1），y=2^x-1，y=2x²-x在[0，1]上都是“友誼函數(shù)”；
（3）“友誼函數(shù)”f（x）一定不是單調(diào)函數(shù)；
（4）若f（x）為“友誼函數(shù)”，假設(shè)存在x₀∈[0，1]使得f（x₀）∈[0，1]且f[f（x₀）]=x₀，則f（x₀）=x₀．
其中正確的命題的序號為

（1），（4）

（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：利用“友誼函數(shù)”的定義，對（1）、（2）、（3）、（4）四個選項逐一分析即可．

解答：（1）∵f（x）是“友誼函數(shù)”，令x₁=x₂=0，則f（0+0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，又對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0，
∴f（0）=0，即（1）正確；
（2）∵y=f（x）=log₂（x+1），
∴當(dāng)x₁，x₂∈[0，1]且x₁+x₂∈[0，1]時，
假設(shè)f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，
則log₂（x₁+x₂+1）≥log₂（x₁+1）+log₂（x₂+1）=log₂（x₁+1）（x₂+1），
∵y=log₂（x）為增函數(shù)，
∴x₁+x₂+1≥（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1，
∴x₁x₂≤0，這是不可能的，
∴假設(shè)不成立，即函數(shù)y=log₂（x+1）在[0，1]不是“友誼函數(shù)”，故（2）錯誤；
（3）y=f（x）=2^x-1在[0，1]上是“友誼函數(shù)”，顯然也是單調(diào)函數(shù)遞增，故（3）錯誤；
下面給出證明：
∵當(dāng)x≥0時，f（x）=2^x-1≥f（0）=2⁰-1=0，滿足①；
f（1）=2¹-1=1，滿足②；
當(dāng)x₁，x₂∈[0，1]且x₁+x₂∈[0，1]時，
f（x₁+x₂）-f（x₁）-f（x₂）
=2x1+x2-1-（2x1-1）-（2x2-1）
=2x1+x2-2x1-2x2+1
=（2x1-1）（2x2-1）≥0，
∴f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），即③成立，
∴y=f（x）=2^x-1在[0，1]上是“友誼函數(shù)”．
（4）∵f（x）為“友誼函數(shù)”，依題意，任意給m，n∈[0，1]，
當(dāng)m＜n時，必有n-m∈[0，1]，f（n-m）≥0，
∴f（n）=f[（n-m）+m]）≥f（n-m）+f（m）≥f（m），
又x₀∈[0，1]且f（x₀）∈[0，1]，f[f（x₀）]=x₀，
∴若1≥f（x₀）＞x₀≥0，則f[f（x₀）]≥f（x₀），即x₀≥f（x₀）與f（x₀）＞x₀矛盾；
若0≤f（x₀）＜x₀≤1，同理可得f（x₀）≥x₀，與f（x₀）＜x₀矛盾；
∴f（x₀）=x₀，即（4）正確．
綜上所述，正確的命題的序號為（1），（4）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查推理論證、抽象思維、創(chuàng)新思維、反證法的綜合運用，屬于難題．