Question

4．三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2$\sqrt{3}$，VC=1，E為AB邊中點．
（1）求證：AB⊥平面VEC；
（2）求出二面角V-AB-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）連接VE，CE．利用等腰三角形的性質(zhì)可得：VE⊥AB，CE⊥AB，于是AB⊥平面CEV，即可證明AB⊥VC．
（2）VA=VB，可得AB⊥VE；同理AB⊥CE．可得∠VEC是二面角V-AB-C的平面角． 利用等邊三角形的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）證明：連接VE，CE．
∵VA=VB，AC=BC，∴VE⊥AB，CE⊥AB．
∵VE∩CE=E，∴AB⊥平面CEV，
∵VC?平面CEV，
∴AB⊥VC．
（2）解：∵VA=VB，∴AB⊥VE；
同理AB⊥CE．
∴∠VEC是二面角V-AB-C的平面角．
由題設(shè)可知VE=CE=1，即∠VEC=60°．
故二面角V-AB-C的大小為60°．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．