在函數(shù)概念的發(fā)展過程中,德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet,1805--1859)功不可沒.19世紀(jì),狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)”:數(shù)學(xué)公式,這個函數(shù)后來被稱為狄利克雷函數(shù).下面對此函數(shù)性質(zhì)的描述中不正確的是


  1. A.
    它是偶函數(shù)
  2. B.
    它是周期函數(shù),且沒有最小正周期
  3. C.
    它沒有單調(diào)性
  4. D.
    它有函數(shù)圖象
D
分析:A.B.通過分類討論和利用偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義可判斷出其正誤;C.D.利用實數(shù)的稠密性及單調(diào)性的定義可以判斷出其正誤.
解答:A.若x為有理數(shù),則-x也為有理數(shù),∴f(-x)=f(x)=1;若x為無理數(shù),則-x也為無理數(shù),∴f(-x)=f(x)=0,故A正確;
B.若x是有理數(shù),T是非零的有理數(shù),則x+T仍是有理數(shù),故f(x+T)=f(x)=1;設(shè)x是無理數(shù),T是非零的有理數(shù),則x+T是無理數(shù),
因此f(x+T)=f(x)=0,由于沒有最小的正有理數(shù),故沒有最小正周期,由上可知B是真命題;
C.由于實數(shù)的稠密性,任意兩個有理數(shù)之間都有無理數(shù),兩個無理數(shù)之間也都有有理數(shù),其函數(shù)值在1與0之間無間隙轉(zhuǎn)換,故它沒有單調(diào)性;
D.由于實數(shù)的稠密性,任意兩個有理數(shù)之間都有無理數(shù),兩個無理數(shù)之間也都有有理數(shù),故無法畫出它的圖象.
故選D.
點評:本題綜合考查了狄氏函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性及圖象等性質(zhì),熟練掌握以上知識是解決問題的關(guān)鍵.
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在函數(shù)概念的發(fā)展過程中,德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet,1805--1859)功不可沒.19世紀(jì),狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)”:y=f(x)=
1,x為有理數(shù)
0,x為無理數(shù).
,這個函數(shù)后來被稱為狄利克雷函數(shù).下面對此函數(shù)性質(zhì)的描述中不正確的是( 。

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在函數(shù)概念的發(fā)展過程中,德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet,1805——1859)功不可沒。19世紀(jì),狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)”:,這個函數(shù)后來被稱為狄利克雷函數(shù)。下面對此函數(shù)性質(zhì)的描述中不正確的是:(   )

A. 它沒有單調(diào)性    B. 它是周期函數(shù),且沒有最小正周期

C. 它是偶函數(shù)      D.它有函數(shù)圖像

 

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[     ]
A.它是偶函數(shù)    
B.它是周期函數(shù),且沒有最小正周期
C.它沒有單調(diào)性     
D.它有函數(shù)圖像

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[     ]
A.它沒有單調(diào)性    
B.它是周期函數(shù),且沒有最小正周期
C.它是偶函數(shù)      
D.它有函數(shù)圖像

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