Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長與底面邊長都相等，A₁在底面ABC的射影是AC的中點，則BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角的正切值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長與底面邊長都相等，A₁在底面ABC的射影是AC的中點，我們不妨令A(yù)C的中點為D，我們根據(jù)等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)結(jié)合D為A₁在底面ABC的射影得到BD⊥平面ACC₁A₁，則∠BC₁D即為BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角，解△BC₁D即可得到BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角的正切值．
解答：解：設(shè)AC的中點為D，由已知中A₁在底面ABC的射影是AC的中點，
連接A₁D，C₁D，BD，則A₁D⊥底面ABC，
∵BD?平面ABC，∴A₁D⊥BD…①
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長與底面邊長都相等，
故三角形ABC為等邊三角形，則BD⊥AC，…②
由于A₁D∩AC=D
∴BD⊥平面ACC₁A₁，則∠BC₁D即為BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角
又設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長與底面邊長都為a
則BD=，C₁D=
∴tan∠BC₁D==
故答案為：．
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中根據(jù)已知條件，求出∠BC₁D即為BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角，是解答本題的關(guān)鍵．