Question

已知圓C的方程為x²+y²+2x-7=0，圓心C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為A，P是圓上任一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l交PC于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡L的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)B（1，）能否作出直線l₂，使l₂與軌跡L交于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是線段MN的中點(diǎn)，若這樣的直線l₂存在，請(qǐng)求出它的方程和M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)Q是線段AP的垂直平分線l與CP的交點(diǎn)，可得|QP|=QA|．又，可得．利用橢圓的定義可知點(diǎn)Q的軌跡L為橢圓；
（2）假設(shè)直線l₂存在，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），分別代入，利用“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率公式即可得出直線l₂的方程；與橢圓方程聯(lián)立即可解得交點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）如圖，由已知圓C的方程x²+y²+2x-7=0，化為（x+1）²+y²=8，可得圓心C（-1，0），半徑，點(diǎn)A（1，0）．
∵點(diǎn)Q是線段AP的垂直平分線l與CP的交點(diǎn)，∴|QP|=QA|．
又∵，∴．
∴點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)為中心，C，A為焦點(diǎn)的橢圓，
∵，∴，
∴點(diǎn)Q的軌跡L的方程為．
（2）假設(shè)直線l₂存在，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），分別代入得，
兩式相減得，即．
由題意，得x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
∴，即k_MN=-1．
∴直線l₂的方程為．
由得6x²-12x+5=0．
∵點(diǎn)B在橢圓L內(nèi)，
∴直線l₂的方程為，它與軌跡L存在兩個(gè)交點(diǎn)，
解方程6x²-12x+5=0得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以，兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、計(jì)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．