Question

已知數列{a_n}滿足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N*）．
（1）證明：數列{+（-1）ⁿ}是等比數列．
（2）設b_n=，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）=（-1）ⁿ-，∴+（-1）ⁿ=（-2）[+（-1）^n-1]
∴數列{+（-1）ⁿ}是以+（-1）=3為首項，公比為-2的等比數列．
∴+（-1）ⁿ=3（-2）^n-1，即a_n=．
（Ⅱ）b_n=（3×2^n-1+1）²=9×4^n-1+6×2^n-1+1．
∴S_n=9×+6×+n=3×4ⁿ+6×2ⁿ+n-9．
分析：（Ⅰ）由題設條件能夠導出+（-1）ⁿ=（-2）[+（-1）^n-1]，由此可知數列{+（-1）ⁿ}是以+（-1）=3為首項，公比為-2的等比數列．
（Ⅱ）b_n=（3×2^n-1+1）²=9×4^n-1+6×2^n-1+1．由此可求出數列{b_n}的前n項和S_n．
點評：本題考查數列的遞推公式和數列的求和，解題時要注意數列求和的方法總結和公式的合理運用．