Question

7．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{k}{x}$，k≠0．
（1）若k=-1，求曲線在點（1，0）處的切線方程；
（2）若k＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （1）將k=-1代入，求出函數(shù)f（x）的表達式，得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出斜率f′（1）=2，代入點斜式方程，從而求出切線的方程；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論x的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值．

解答 解：（1）k=-1時，f（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$，f′（1）=2，
∴切線方程為：y=2（x-1）；
（2）k＞0時，f′（x）=1-$\frac{k}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-k}{{x}^{2}}$，
x＞0時：令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{k}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{k}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{k}$）遞減，在（$\sqrt{k}$+∞）遞增，
x＜0時：令f′（x）＞0，解得：x＜-$\sqrt{k}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{k}$，
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{k}$）遞增，在（-$\sqrt{k}$，0）遞減；
當(dāng)x＜0時：f（x）_極大值=f（-$\sqrt{k}$）=-2$\sqrt{k}$，
當(dāng)x＞0時：f（x）_極小值=f（$\sqrt{k}$）=2$\sqrt{k}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．