Question

一個多面體的直觀圖及三視圖分別如圖1和圖2所示（其中正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖是直角三角形），M、N分別是AB₁、A₁C₁的中點，MN⊥AB₁．


（Ⅰ）求實數(shù)a的值并證明MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）在上面結(jié)論下，求平面AB₁C₁與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CB，CC₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，證明

MN

與平面BCC₁B₁的法向量垂直，即可證得MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ） 平面ABC的法向量

m

=(0，0，1)，求出平面AB₁C₁的法向量

n

=(

4

3

，0，1)，從而可得cosθ=

m • n

| m || n |

=

1

16 9 .1

=

3

5

，即可得到平面AB₁C₁與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）由圖可知，ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，側(cè)棱CC₁=a，底面為直角三角形，AC⊥BC，AC=3，BC=4
以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CB，CC₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(3，0，0)，B1(0，4，a)，N(

3

2

，0，a)，
所以，M(

3

2

，2，

a

2

)，

MN

=(0，-2，-

a

2

)，

AB1

=(-3，4，a)
因為MN⊥AB₁，所以

MN

•

AB1

=(0，-2，-

a

2

)•(-3，4，a)=0
解得：a=4…（3分）
此時，

MN

=(0，-2，-2)，平面BCC₁B₁的法向量

b

=(1，0，0)
∴

MN

•

b

=(1，0，0)•(0，-2，-2)=0
∴

MN

與平面BCC₁B₁的法向量垂直，且MN?平面BCC₁B₁
∴MN∥平面BCC₁B₁…（6分）
（Ⅱ） 平面ABC的法向量

m

=(0，0，1)，設(shè)平面AB₁C₁的法向量為

n

=(x，y，1)，平面AB₁C₁與平面ABC所成銳二面角的大小等于其法向量所成銳角θ的大小，法向量

n

滿足：

n

•

AC1

=0，

n

•

AB1

=0
因為A（3，0，0），C₁（0，0，4），B₁（0，4，4），

AC1

=(-3，0，4)，

AB1

=(-3，4，4)
所以，

n • AC1 =(-3，0，4)•(x，y，1)=-3x+4=0 n • AB1 =(-3，4，4)•(x，y，1)=-3x+4y+4=0

所以，

x= 4 3 y=0

，

n

=(

4

3

，0，1)
所以，cosθ=

m • n

| m || n |

=

1

16 9 .1

=

3

5

所以平面AB₁C₁與平面ABC所成銳二面角的余弦值為

3

5

…（13分）

點評：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識解決立體幾何問題．