Question

（2012•資陽(yáng)三模）如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面AD₁⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA₁=2，A₁D=

3

，E、F分別是BC、AC₁的中點(diǎn)．
（I）求證：EF∥平面AA₁B₁B；
（II）求二面角C-A₁C₁-D的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形中位線性質(zhì)，證明線線平行，可得面面平行，從而可得線面平行；
（Ⅱ）證明DA₁、DA、DC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，求出平面A₁C₁D的一個(gè)法向量

n1

=

DB

=(1，1，0)，平面ACC₁A₁的法向量為

n2

=（x，y，z），利用向量的夾角公式，即可求二面角C-A₁C₁-D的大小．

解答：（Ⅰ）證明：連接BD，交AC于O，則O是AC的中點(diǎn)，
∴OF∥CC₁，CC₁∥BB₁，∴OF∥BB₁，又OE∥AB，
∴平面OEF∥平面AA₁B₁B，又EF?平面OEF，
∴EF∥平面AA₁B₁B．（4分）
（Ⅱ）解：∵AD=1，AA₁=2，A1D=

3

，∴△AA₁D是直角三角形，且A₁D⊥AD，
∵側(cè)面AD₁⊥平面ABCD，∴A₁D⊥平面ABCD，可知DA₁、DA、DC兩兩垂直．（6分）
分別以DA₁、DA、DC為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則
D（0，0，0），A（1，0，0），A1(0，0，

3

)，C（0，1，0），C1(-1，1，

3

)，B（1，1，0），
∴

DB

=(1，1，0)，

DA1

=(0，0，

3

)，

A1C1

=(-1，1，0)，

AC

=(-1，1，0)，

AA1

=(-1，0，

3

)，（8分）
由

DB

•

DA1

=0，

DB

•

A1C1

=0可得平面A₁C₁D的一個(gè)法向量

n1

=

DB

=(1，1，0)，
設(shè)平面ACC₁A₁的法向量為

n2

=（x，y，z），
由

n2 • AC =-x+y=0 n2 • AA1 =-x+ 3 z=0

，取

n2

=(

3

，

3

，1)，（10分）
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | n2 ||

=

2 3

2 • 7

=

42

7

，
∴二面角C-A₁C₁-D的大小為arccos

42

7

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定方法，正確運(yùn)用向量法解決空間角問(wèn)題．