Question

11．記不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x+3y≥10\\ x≤5\\ y≤4\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為D，過區(qū)域D中任意一點P作圓x²+y²=1的兩條切線，切點分別為A，B，則當∠APB的最大時，cos∠APB為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求確定當∠PAB最大時點P的位置，利用余弦函數(shù)的倍角公式，即可求出結(jié)論．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x+3y≥10\\ x≤3\\ y≤4\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域D，如圖所示，
要使∠APB最大，
則∠OPB最大，
∵sin∠OPB=$\frac{OB}{OP}$=$\frac{1}{OP}$，
∴只要OP最小即可．
則P到圓心的距離最小即可，
由圖象可知當OP垂直直線3x+4y-10=0，此時|OP|=$\frac{|-10|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{10}{5}$=2，|OA|=1，
設∠APB=α，則∠APO=$\frac{α}{2}$，即sin$\frac{α}{2}$=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
此時cosα=1-2sin²$\frac{α}{2}$=1-2×（$\frac{1}{2}$）²=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
即cos∠APB=$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵，要求熟練掌握兩角和的倍角公式．