Question

已知函數(shù)y=f（x）的周期為2，當x∈[0，2]時，f（x）=（x-1）²，如果g（x）=f（x）-log₅|x-1|，則函數(shù)y=g（x）的所有零點的個數(shù)是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

Answer 1

【答案】分析：先根據函數(shù)的周期性畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，以及y=log₅|x-1|的圖象，結合圖象可得當x＞6時，y=log₅|x-1|＞1，此時與函數(shù)y=f（x）無交點，再根據y=log₅|x-1|的圖象關于直線x=1對稱，結合圖象即可判定函數(shù)g（x）=f（x）
-log₅|x-1|的零點個數(shù)．
解答：解：由題意可得g（x）=f（x）-log₅|x-1|，根據周期性畫出函數(shù)f（x）=（x-1）²的圖象
以及y=log₅|x-1|的圖象，
根據y=log₅|x-1|在（1，+∞）上單調遞增函數(shù)，當x=6 時，log₅|x-1|=1，
∴當x＞6時，y=log₅|x-1|＞1，此時與函數(shù)
y=f（x）無交點．
再根據y=log₅|x-1|的圖象和 f（x）的圖象都關于直線x=1對稱，結合圖象可知有8個交點，
則函數(shù)g（x）=f（x）-log₅|x-1|的零點個數(shù)為 8，
故選D．
點評：本題考查函數(shù)的零點，求解本題，關鍵是研究出函數(shù)f（x）性質，作出其圖象，將函數(shù)g（x）=f（x）-|log₅x|的零點個數(shù)的問題轉化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題是本題中的一個亮點，此一轉化使得本題的求解變得較容易，屬于中檔題．