Question

在△ABC中，＝60°，p是△ABC所在平面外一點(diǎn)，，＝90°，

    （1）求證：平面PAC；

    （2）若H是△ABC的重心，求證：H是P在平面ABC上的射影；

    （3）若G₁、G₂分別是ΔPAB和ΔPBC的重心，求證：G₁G₂∥平面PAC．

Answer 1

答案：
解析：

如圖(1)∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC．     又∵PB=PC，∴AB=AC(射影相等斜線段相等)．     又∵∠BAC=60º，     ∴AB=BC=CA．     ∴△PAB≌△PBC，∴∠BPC=∠BPA=90º．     即PB⊥PC，∴PB⊥平面PAC．     (2)連結(jié)AH并延長交BC于E，則AE⊥BC．且E為BC的中點(diǎn)．     ∵PB=PC，∴PE⊥BC，∴BC⊥平面PAE．     ∵PH平面PAE，∴BC⊥PH．     同理可證，AB⊥PH．     故PH⊥平面ABC，即H為P在平面ABC上的射影．     (3)連結(jié)CH延長交AB于D，則D為AB的中點(diǎn)．     ∵G1、G2分別是△PAB和△PBC的重心．     ∵，∴G1G2∥DE，     又∵DE∥AC，∴G1G2∥AC，     故G1G2∥平面PAC．