在平面直角坐標系xOy中，已知定點A（-2，0）、B（2，0），M是動點，且直線MA與直線MB的斜率之積為-，設(shè)動點M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II ）過定點T（-1，0）的動直線l與曲線C交于P，Q兩點，是否存在定點S（s，0），使得為定值，若存在求出s的值；若不存在請說明理由．
【答案】分析：（I）根據(jù)定點A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-，建立方程，化簡可得曲線C的方程；
（II ）當動直線l的斜率存在時，設(shè)動直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）與橢圓方程聯(lián)立，用坐標表示出，要使存在定點S（s，0），使得為定值，則使=4即可，再驗證斜率不存在情況也成立．
解答：解：（I）設(shè)M點坐標為（x，y）
∵定點A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-，
∴
∴
∴曲線C的方程為；
（II ）當動直線l的斜率存在時，設(shè)動直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）
由，可得（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），∴
∵，
∴
若存在定點S（s，0），使得為定值，則=4
∴s=-，此時定值為
當動直線l的斜率不存在時，P（-1，），Q（-1，-），可知s=-時，=
綜上知，存在定點S（-，0），使得為定值．
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查存在性問題的探究，解題的關(guān)鍵是用坐標表示出，進而確定定值．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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