Question

已知橢圓C：=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若橢圓上總存在點P，使得點P在以F₁F₂為直徑的圓上；
（1）求橢圓離心率的取值范圍；
（2）若AB是橢圓C的任意一條不垂直x軸的弦，M為弦AB的中點，且滿足K_AB•K_OM=-（其中K_AB、K_OM分別表示直線AB、OM的斜率，O為坐標原點），求滿足題意的橢圓C的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)點P（x，y），∵F₁ （-，0），F(xiàn)₂ （，0），
設(shè)橢圓的上頂點為B（0，1），
∵點P在以F₁F₂為直徑的圓上，∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂，只需滿足 •≤0，
（-，-1）•（，-1）=-（m-1）+1=2-m≤0，m≥2，
e=∈[，1）．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂ ），M （x₀，y₀），則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀．
把A、B的坐標代入橢圓方程得 ，，
并相減得：=-（y₁+y₂）（y₁-y₂），
∴K_AB ==，又 K_OM=，
再由 K_AB•K_OM =-，m=4，此時，橢圓的方程為+y²=1．
分析：（1） 利用點P在以F₁F₂為直徑的圓上，以及∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂，故只需滿足 •≤0，由兩個向量的數(shù)量積公式
求出m的范圍，即得橢圓離心率的取值范圍．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂ ），M （x₀，y₀），把A、B的坐標代入橢圓方程并相減得直線AB的斜率，據(jù)K_AB•K_OM=-，求出 m值，即得橢圓的方程．
點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用以及用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程的方法，以及直線的斜率公式、
兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用．