Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₂+a₄=16，a₅-a₃=4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求證b₁+b₂+…+b_n≥$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等差數(shù)列的首項和公差，代入等差數(shù)列的通項公式和前n項和得答案；
（2）把等差數(shù)列的前n項和代入b_n=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，列項和求出b₁+b₂+…b_n，判斷數(shù)列{S_n}的單調(diào)性，即可證明結(jié)果．

解答 （1）解：由a₅-a₃=4，可得2d=4，解得d=2．∵a₂+a₄=16，解得a₂=6，a₁=4
可得a_n=4+（n-1）×2=2n+2；
（2）證明：b_n=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n+2）（2n+4）}$=$\frac{1}{（n+!）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．
S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$-$（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$＞0，
可得{S_n}是遞增數(shù)列．
因為S₁=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
所以S_n$≥\frac{1}{6}$．
∴b₁+b₂+…+b_n≥$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的和，證明數(shù)列不等式，數(shù)列的函數(shù)的特征的應(yīng)用，是中檔題．