已知一幾何體的直觀圖和三視圖如下圖示:
精英家教網(wǎng)
假設(shè)點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn),試根據(jù)以上圖形提供的信息解決以下問題.
(1)三棱錐C-DED1的體積是否與點(diǎn)E的位置有關(guān)?說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)異面直線AD1與EC所成角為60°時(shí),請(qǐng)確定動(dòng)點(diǎn)E的位置;
(3)在(2)的條件下,求證平面DED1⊥平面D1EC.
分析:(1)三棱錐C-DED1的體積與點(diǎn)E的位置無(wú)關(guān),因?yàn)?span id="l59lbvn" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">VC-DED1=VD1-DEC=
1
3
S△DEC•DD1,所以不論點(diǎn)E在AB上的任何位置都有S△DEC=
1
2
SABCD
,所以三棱錐的體積為定值.
(2)作AE'∥CE交CD于E',可得AE'=D1E',進(jìn)而得到AD1E'為正三角形,所以AE=DE'=1,這時(shí)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).
(3)由(2)知,E為AB的中點(diǎn),所以∠AED=∠BEC=45°所以CE⊥DE,由題意可得CE⊥DD1,DE∩DD1=D,所以CE⊥平面D1ED.進(jìn)而得到面面垂直.
解答:解:由該幾何體的三視圖知,ABCD為矩形,D1D⊥平面ABCD,AD=DD1=1,AB=2.
(1)三棱錐C-DED1的體積與點(diǎn)E的位置無(wú)關(guān),
這是∵VC-DED1=VD1-DEC=
1
3
S△DEC•DD1

∵不論點(diǎn)E在AB上的任何位置都有S△DEC=
1
2
S平行四邊形ABCD=
1
2
×2×1=1

∴不論點(diǎn)E在AB上的任何位置都有VC-DED1=
1
3
×1×1=
1
3

(2)作AE'∥CE交CD于E',
∵AD=DD1=1,∴AE'=D1E',
又異面直線AD1與EC所成角為600,∴△AD1E'為正三角形,
從而AE=DE'=1,這時(shí)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).
(3)由(2)知,E為AB的中點(diǎn),∴△DAE與△EBC都是等腰直角三角形
∴∠AED=∠BEC=45°∴CE⊥DE,
又∵D1D⊥平面ABCD,EC?平面ABCD
∴CE⊥DD1,DE∩DD1=D
∴CE⊥平面D1ED
∵EC?平面D1EC
∴平面DED1⊥平面D1EC.
點(diǎn)評(píng):解決三棱錐的體積問題關(guān)鍵是找到其膏與底面,對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題一般先找線段的端點(diǎn)或線段的中點(diǎn),證明面面垂直的方法是在其中一個(gè)平面內(nèi)找另一個(gè)平面的垂線即可,此類題目在高考中經(jīng)常以解答題的形式出現(xiàn).
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精英家教網(wǎng)已知一幾何體的三視圖如圖(甲)示,(三視圖中已經(jīng)給出各投影面頂點(diǎn)的標(biāo)記)
(1)在已給出的一個(gè)面上(圖乙),畫出該幾何體的直觀圖;
(2)設(shè)點(diǎn)F、H、G分別為AC,AD,DE的中點(diǎn),
求證:FG∥平面ABE;
(3)求該幾何體的全面積.

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(1)在已給出的一個(gè)面上(圖乙),
畫出該幾何體的直觀圖
(2)設(shè)點(diǎn)FH、G分別為AC、AD、
DE的中點(diǎn),求證:FG//平ABE
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(3)在(2)的條件下,求證平面DED1⊥平面D1EC.

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