已知k>0,直線l1:y=kx,l2:y=-kx.
(1)證明:到l1、l2的距離的平方和為定值a(a>0)的點的軌跡是圓或橢圓;
(2)求到l1、l2的距離之和為定值c(c>0)的點的軌跡.
分析:(1)設動點P(x,y),依據(jù)到l1、l2的距離的平方和為定值a得關于x,y的方程,化簡即得軌跡方程,再對參數(shù)k 進行討論即可;
(2)設動點P(x,y),依據(jù)到l1、l2的距離之和為定值c得關于x,y的方程,化簡即得軌跡方程,最后依據(jù)方程討論其軌跡.
解答:(1)證明:設點P(x,y)為動點,則
+
=a,
整理得
+
=1.
因此,當k=1時,動點的軌跡為圓;
當k≠1時,動點的軌跡為橢圓.
(2)解:設點P(x,y)為動點,則
|y-kx|+|y+kx|=c
.
當y≥k|x|時,y-kx+y+kx=c
,即y=
c
;
當y≤-k|x|時,kx-y-y-kx=c
,即y=-
c
;
當-k|x|<y<k|x|,x>0時,kx-y+y+kx=c
,即x=
c
;
當-k|x|<y<k|x|,x<0時,y-kx-y-kx=c
,即x=-
c
.
綜上,動點的軌跡為矩形.
點評:求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題.求符合某種條件的動點的軌跡方程,其實質就是利用題設中的幾何條件,用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系.